Question

（07年江西卷文）（12分）

下圖是一個直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，，，．

（1）設點是的中點，證明：平面；

（2）求與平面所成的角的大小；

（3）求此幾何體的體積．

Answer 1

解析：解法一：

（1）證明：作交于，連．

則，因為是的中點，

所以．則是平行四邊形，因此有，

平面，且平面，則面．

（2）解：如圖，

過作截面面，分別交，于，，

作于，

因為平面平面，則面．

連結，則就是與面所成的角．

因為，，所以．

與面所成的角為．

（3）因為，所以．

．

．

所求幾何體的體積為．

解法二：

（1）       證明：如圖，以為原點建立空間直角坐標系，

則，，，因為是的中點，所以，

，

易知，是平面的一個法向量．

由且平面知平面．

（2）設與面所成的角為．

求得，．

設是平面的一個法向量，則由得，

取得：．

又因為

所以，，則．

所以與面所成的角為．

（3）同解法一