Question

（2013•廣州一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，點M為PC的中點．
（1）求證：PA∥平面BMD；
（2）求證：AD⊥PB；
（3）若AB=PD=2，求點A到平面BMD的距離．

Answer 1

分析：（1）設AC和BD交于點O，MO為三角形PAC的中位線可得MO∥PA，再利用直線和平面平行的判定定理，證得結論．
（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，再由cos∠BAD=

AD

AB

=

1

2

，證得 AD⊥BD，可證AD⊥平面PBD，從而證得結論．
（3）點A到平面BMD的距離等于點C到平面BMD的距離h，求出MN、MO的值，利用等體積法求得點C到平面MBD的距離h．

解答：（1）證明：設AC和BD交于點O，則由底面ABCD是平行四邊形可得O為AC的中點．
由于點M為PC的中點，故MO為三角形PAC的中位線，故MO∥PA．再由PA不在平面BMD內，而MO在平面BMD內，
故有PA∥平面BMD．
（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，平行四邊形ABCD中，∵∠BCD=60°，AB=2AD，
∴cos∠BAD=

AD

AB

=cos60°=

1

2

，∴AD⊥BD．
這樣，AD垂直于平面PBD內的兩條相交直線，故AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB．
（3）若AB=PD=2，則AD=1，BD=AB•sin∠BAD=2×

3

2

=

3

，
由于平面BMD經過AC的中點，故點A到平面BMD的距離等于點C到平面BMD的距離．
取CD得中點N，則MN⊥平面ABCD，且MN=

1

2

PD=1．
設點C到平面MBD的距離為h，則h為所求．
由AD⊥PB 可得BC⊥PB，故三角形PBC為直角三角形．
由于點M為PC的中點，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得MD=MB，故三角形MBD為等腰三角形，
故MO⊥BD．
由于PA=

PD2+AD2

=

4+1

=

5

，∴MO=

5

2

．
 由V_M-BCD=V_C-MBD 可得，

1

3

•（

1

2

×AB×AD×sin∠BAD）•MN=

1

3

•（

1

2

×BD×MO ）×h，
故有

1

3

×（

1

2

×2×1×sin60°）×1=

1

3

•（

1

2

×

3

×

5

2

）•h，
解得h=

2 5

5

．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理，直線和平面垂直的性質，用等體積法求點到平面的距離，體現了數形結合和等價轉化的數學思想，屬于中檔題．