Question

已知函數f(x)＝ax²－(a＋2)x＋ln x.
(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)當a>0時，若f(x)在區間[1，e]上的最小值為－2，求a的取值范圍；
(3)若對任意x₁，x₂∈(0，＋∞)，x₁<x₂，且f(x₁)＋2x₁<f(x₂)＋2x₂恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）y＝－2.
（2）[1，＋∞)
（3）[0,8]

(1)當a＝1時，f(x)＝x²－3x＋ln x，f′(x)＝2x－3＋.
因為f′(1)＝0，f(1)＝－2.
所以切線方程是y＝－2.
(2)函數f(x)＝ax²－(a＋2)x＋ln x的定義域是(0，＋∞)．
當a>0時，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝ (x>0)，
令f′(x)＝0，即f′(x)＝
＝＝0，
所以x＝或x＝.
當0<≤1，即a≥1時，f(x)在[1，e]上單調遞增，
所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；
當1<<e時，f(x)在[1，e]上的最小值是f<f(1)＝－2，不合題意；
當≥e時，f(x)在(1，e)上單調遞減，
所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(e)<f(1)＝－2，不合題意．
綜上a的取值范圍是[1，＋∞)．
(3)設g(x)＝f(x)＋2x，則g(x)＝ax²－ax＋ln x，
只要g(x)在(0，＋∞)上單調遞增即可．
而g′(x)＝2ax－a＋＝，
當a＝0時，g′(x)＝>0，此時g(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
當a≠0時，只需g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因為x∈(0，＋∞)，只要2ax²－ax＋1≥0，則需要a>0，
對于函數y＝2ax²－ax＋1，過定點(0,1)，對稱軸x＝>0，只需Δ＝a²－8a≤0，
即0<a≤8.
綜上a的取值范圍是[0,8]．