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已知函數f1(x)=
mx
4x2+16
，f2(x)=(
1
2
)|x-m|其中m∈R且m≠o．
（1）判斷函數f1（x）的單調性；
（2）若m＜一2，求函數f（x）=f1（x）+f2（x）（x∈[-2，2]）的最值；
分析：（1）用導數法判斷其單調性，第一步先求導數，第二步判斷，當導數大于零時，函數為增函數，當導數小于零時，函數為減函數．（2）先構造函數，再判斷其單調性，然后求最值．
解答：解：（1）∵f′1(x)=
m(4-x2)
(2x2+8)2
（2分）
則當m＞0時，在（-2，2）上函數f1（x）單調遞增；
在（-∞，-2）及（2，+∞）上單調遞減．（4分）
當m＜0時，在（-2，2）上函數f1（x）單調遞減；
在（-∞，-2）及（2，+∞）上單調遞增．（6分）

（2）由m＜-2，，-2≤x≤2，可得f2(x)=(
1
2
)x-m=2m•(
1
2
)x（8分）
∴f(x)=f1(x)+f2(x)=
mx
4x2+16
+2m•(
1
2
)x
由（1）知，當m＜-2，-2≤x≤2時，f1（x）在[-2，2]上是減函數，
而f2(x)=2m•(
1
2
)x在[-2，2]上也是減函數（10分）
∴當x=-2時，f（x）取最大值4•2m-
m
16
=2m+2-
m
16
，
當x=2時，f（x）取最小值2m-2+
m
16
（12分）
點評：本題主要考查導數法研究單調性，同進考查了求最值或值域時，必須先研究單調性．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）當a=
1
2
時，求f（x）在區間[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函數g（x），f1（x），f2（x），在公共定義域D上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就稱為g（x）為f1（x），f2（x）的“活動函數”．
已知函數f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax．
①若在區間（1，+∞）上，函數f（x）是f1（x），f2（x）的“活動函數”，求a的取值范圍；
②當a=
2
3
時，求證：在區間（1，+∞）上，函數f1（x），f2（x）的“活動函數”有無窮多個．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）當a=
1
2
時，求f（x）在區間[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函數g（x），f1（x），f2（x），在公共定義域D上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就稱g（x）為f1（x），f2（x）的“活動函數”．已知函數f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax．若在區間（1，+∞）上，函數f（x）是f1（x），f2（x）的“活動函數”，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•太原模擬）已知函數f1(x)=ax，f2(x)=xa，f3(x)=logax（其中a＞0且a≠1），當x≥0且y≥0時，在同一坐標系中畫出其中兩個函數的大致圖象，正確的是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知函數f1(x)=e|x-a|，f2(x)=ebx．
（I）若f（x）=f1（x）+f2（x）-bf2（-x），是否存在a，b∈R，y=f（x）為偶函數．如果存在．請舉例并證明你的結論，如果不存在，請說明理由；
〔II）若a=2，b=1．求函數g（x）=f1（x）+f2（x）在R上的單調區間；
（III ）對于給定的實數?x0∈[0，1]，對?x∈[0，1]，有|f1（x）-f2（x0）|＜1成立．求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f1(x)=x+
4
x
(x≠0)，f2(x)=cosx+
4
cosx
(0＜x＜
π
2
)，f3（x）=
8x
x2+1
（x＞0），f4(x)=
9
x+2
+x(x≥-2)，其中以4為最小值的函數個數是（　　）

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