Question

已知函數f（x）=x³+bx²+cx+d，當x=-3和x=1時，f（x）取得極值．
（1）求b，c的值；
（2）若對任意x∈[-4，2]，都有f（x）≥-6d²成立，試求d的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若函數f（x）在一點取極值，則函數在此點的導數值為0，且在兩側的導數值符號相反．
（2）若在此區間上不等式恒成立，只需要最小值大于-6d²即可．利用導數確定函數的單調性，并利用單調性確定在此區間上的最小值．∈

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c，（2分）
∵當x=-3和x=1時，f（x）取得極值．∴f′（3）=0，f′（1）=0，（4分）

27-6b+c=0 3+2b+c=0

，解得，b=3，c=-9．（6分）
（2）由（1）知f（x）=x³+3x²-9x+d，
f′（x）=3x²+6x-9  f′（x）＞0，3x²+6x-9＞0，解得 x＜-3或x＞1，
∵x∈[-4，2]∴f（x）的增減區間、極值、端點值情況如下表：

x	-4	（-4，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	20+d	遞增	極大值27+d	遞減	極小值d-5	遞增	2+d

對任x∈[-4，2]，都有f（x）≥-6d²成立，只需f（x）在[-4，2]上的最小值f（x）_min≥-6d²．
∴d的取值應滿

20+d≥-6d2 d-5≥-6d2

（12分）
解不等式組得，d≤-1或d≥

5

6

，
∴d的取值范圍是（-∞，-1）∪[

5

6

，+∞）（14分）

點評：利用導數確定函數的單調性，利用單調性解決最值問題．注意在極值的兩側導數的符號是相反的．