Question

如圖，已知：射線OA為y=kx（k＞0，x＞0），射線OB為y=-kx（x＞0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在∠AOx的內(nèi)部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四邊形ONPM的面積恰為k．
（1）當(dāng)k為定值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y是橫坐標(biāo)x的函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）根據(jù)k的取值范圍，確定y=f（x）的定義域．

Answer 1

分析：本題考查的是函數(shù)解析式的求解和定義域的求解的綜合類問題．在解答時(shí)：
（1）先要仔細(xì)分析題目所給的條件，設(shè)出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，將四邊形分解成兩個(gè)三角形：三角形OMP、三角形ONP分別表示出面積，然后求和即可找到x、y之間的關(guān)系式，進(jìn)而即可獲得問題的解答；
（2）首先由0＜y＜kx，得到x必須的范圍，然后根據(jù)k分類討論，同時(shí)注意要構(gòu)成四邊形的隱含條件，進(jìn)而即可獲得自變量x的范圍，最后注意分情況下結(jié)論，進(jìn)而問題即可獲得解答．

解答：解：（1）設(shè)M（a，ka），N（b，-kb），（a＞0，b＞0）．
則|OM|=a

1+k2

，|ON|=b

1+k2

．
由動(dòng)點(diǎn)P在∠AOx的內(nèi)部，得0＜y＜kx．
∴|PM|=

|kx-y|

1+k2

=

kx-y

1+k2

，|PN|=

|kx+y|

1+k2

=

kx+y

1+k2

∴S_{四邊形ONPM}=S_△ONP+S_△OPM=

1

2

（|OM|•|PM|+|ON|•|PN|）
=

1

2

[a（kx-y）+b（kx+y）]=

1

2

[k（a+b）x-（a-b）y]=k
∴k（a+b）x-（a-b）y=2k①
又由k_PM=-

1

k

=

y-ka

x-a

，k_PN=

1

k

=

y+kb

x-b

，
分別解得a=

x+ky

1+k2

，b=

x-ky

1+k2

，代入①式消a、b，并化簡得x²-y²=k²+1．
∵y＞0，∴y=

x2-k2-1

．
（2）由0＜y＜kx，得0＜

x2-k2-1

＜kx?

x2-k2-1＞0 x2-k2-1＜k2x2

?

x＞ k2+1 (1-k2)x2＜k2+1②

（*）
當(dāng)k=1時(shí)，不等式②為0＜2恒成立，∴（*）?x＞

2

．
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，由不等式②得x²＜

k2+1

1-k2

，x＜

1-k4

1-k2

，∴（*）?

k2+1

＜x＜

1-k4

1-k2

．
當(dāng)k＞1時(shí)，由不等式②得x²＞

k2+1

1-k2

，且

k2+1

1-k2

＜0，∴（*）?x＞

k2+1

但垂足N必須在射線OB上，否則O、N、P、M四點(diǎn)不能組成四邊形，所以還必須滿足條件：y＜

1

k

x，將它代入函數(shù)解析式，得

x2-k2-1

＜

1

k

x
解得

k2+1

＜x＜

k k4-1

k2-1

（k＞1），或x∈k（0＜k≤1）．
綜上：當(dāng)k=1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x＞

2

}；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，定義域?yàn)閧x|

k2+1

＜x＜

1-k4

1-k2

}；
當(dāng)k＞1時(shí)，定義域?yàn)閧x|

k2+1

＜x＜

k k4-1

k2-1

}．

點(diǎn)評：本題考查的是函數(shù)解析式的求解和定義域的求解的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了圖形分割的思想、分類討論的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．