Question

如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求證：AF⊥平面CBF；
（2）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；
（3）設平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為V_F-ABCD，V_F-CBE，求V_F-ABCD：V_F-CBE．

Answer 1

（1）證明：由平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，
得CB⊥平面ABEF，
而AF?平面ABEF，所以AF⊥CB（2分）
又因為AB為圓O的直徑，
所以AF⊥BF，（3分）
又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CBF（4分）
（2）證明：設DF的中點為N，連接AN，MN
則MN

∥

.

1

2

CD，又AO

∥

.

1

2

CD
則MN

∥

.

AO，所以四邊形MNAO為平行四邊形，（6分）
所以OM∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF，
所以OM∥平面DAF．（8分）
（3）過點F作FG⊥AB于G，因為平面ABCD⊥平面ABEF，
所以FG⊥平面ABCD，所以VF-ABCD=

1

3

SABCD•FG=

2

3

FG（9分）
因為CB⊥平面ABEF，
所以VF-CBE=VC-BFE=

1

3

S△BFE•CB=

1

3

•

1

2

EF•FG•CB=

1

6

FG（11分）
所以V_F-ABCD：V_F-CBE=4：1．（12分）