Question

二次函數y=f（x）的圖象的一部分如圖所示．
（Ⅰ）根據圖象寫出f（x）在區間[-1，4]上的值域；
（Ⅱ）根據圖象求y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）試求k的范圍，使方程f（x）-k=0在（-1，4]上的解集恰為兩個元素的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據圖象的最低點與最高點得出f（x）的值域．
（Ⅱ）由圖象與x軸交點，用待定系數法求出f（x）的解析式．
（Ⅲ）方法1，構造函數g（x）=f（x）-k，判定二次函數g（x）在（-1，4]上有兩個零點即可；
方法2，由原方程的解與函數y=x²-2x-3，x∈（-1，4]和y=k的圖象的交點有兩個，結合圖象得出結論．

解答：解：（Ⅰ）由圖象知，圖象最低點f（1）=-4，最高點f（4）=5，
∴f（x）在區間[-1，4]上的值域為[-4，5]．
（Ⅱ）根據圖象設y=a（x+1）（x-3），
即y=a（x²-2x-3），
因為圖象過點（1，-4），所以a（1-2-3）=-4．
解得a=1．
所以二次函數的解析式為y=f（x）=x²-2x-3．
（Ⅲ）方法1：設g（x）=f（x）-k=x²-2x-3-k，
依條件有

f(-1)＞0 f(4)≥0 △＞0

，
即

1+2-3-k＞0 16-8-3-k≥0 4+4(3+k)＞0

，
解得-4＜k＜0；
∴k的取值范圍是{k|-4＜k＜0}．
方法2：∵原方程的解與兩個函數y=x²-2x-3，x∈（-1，4]和y=k的圖象的交點構成一一對應．
∴由圖象知，當-4＜k＜0時，原方程在（-1，4]上的解集為兩元素集合，
∴k的取值范圍是{k|-4＜k＜0}．

點評：本題考查了二次函數的圖象與性質的應用問題，解題時能數形結合，有助于解題，是中檔題．