Question

已知O是坐標原點，點A（-1，-2），若點M（x，y）平面區域

x+y≥2 x≤1 y≤2

上的一個動點，使

OA

•（

OA

-

MA

）+

1

m

≤0恒成立，則實數m的取值范圍為

（-∞，0）∪[

1

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：確定不等式組表示的平面區域，化簡向量，再將恒成立問題轉化為求函數的最值，即可求得結論．

解答：解：不等式組表示的平面區域如圖

令z=

OA

•（

OA

-

MA

）=

OA

•

OM

=-x-2y，則目標函數的幾何意義是直線y=-

1

2

x-

z

2

縱截距一半的相反數
由

x=1 x+y=2

，可得x=y=1由圖象可知，此時z取得最大值-3
∵

OA

•（

OA

-

MA

）+

1

m

≤0恒成立
∴

1

m

≤-

OA

•（

OA

-

MA

）+

1

m

∴

1

m

≤-z
∴

1

m

≤3
∴m＜0或m≥

1

3

故答案為：（-∞，0）∪[

1

3

，+∞）．

點評：本題考查線性規劃知識，考查數學結合的數學思想，考查恒成立問題，確定函數的最值是關鍵．