Question

在數列{a_n}中，a1=1，an=

an-1

can-1+1

（c為常數，n∈N*，n≥2），又a₁，a₂，a₅成公比不為l的等比數列．
（I）求證：{

1

an

}為等差數列，并求c的值；
（Ⅱ）設{b_n}滿足b1=

2

3

，bn=an-1an+1(n≥2，n∈N*)，證明：數列{b_n}的前n項和Sn＜

4 n 2   -n

4 n 2   -1

．

Answer 1

分析：（I）由題意可得a_n≠0，由已知可得

1

an

=

1

an-1

+c可證數列{

1

an

}是等差數列，結合等差數列的 通項公式可求

1

an

，進而可求a_n，然后由a₁，a₂，a₅成公比不為l的等比數列可求c
（II）由（I）可求a_n，進而可求b_n，利用裂項法可求S_n，即可證明

解答：（I）證明：若a_n=0，（n≥2）則，則a_n-1=0與a₁=1矛盾
∴a_n≠0
∵a1=1，an=

an-1

can-1+1

∴

1

an

=

1

an-1

+c
∴數列{

1

an

}是以c為公差，以

1

a1

=1為首項的等差數列
∴

1

an

=1+(n-1)c
∴an=

1

nc+1-c

∴a2=

1

1+c

，a3=

1

1+4c

∵又a₁，a₂，a₅成公比不為l的等比數列
∴a22=a₁a₅
即(

1

1+c

)2=

1

1+4c

解得c=0或c=2
當c=0時，a₁=a₂=a₅，故舍去
∴c=2
（II）∵an=

1

2n-1

∴b1=

2

3

，bn=

1

(2n-3)(2n+1)

=

1

4

(

1

2n-3

-

1

2n+1

)
當n=1時，S1=

2

3

當n≥2時，Sn=

2

3

+

1

4

（1-

1

5

+

1

3

-

1

7

+

1

5

-

1

9

+…+

1

2n-3

-

1

2n+1

）
=

2

3

+

1

4

（1+

1

3

-

1

2n-1

-

1

2n+1

）=1-

n

4n2-1

=

4n2-n-1

4n2-1

＜

4n2-n

4n2-1

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等差數列求解通項公式，等比數列的性質的應用及裂項求和方法的應用，本題中的裂項求和具有一定的難度