Question

已知集合M={f（x）|y=f（x）}，其元素f（x）須同時滿足下列三個條件：
①定義域為（-1，1）；
②對于任意的x，y∈（-1，1），均有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；
③當x＜0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）若函數f（x）∈M，證明：y=f（x）在定義域上為奇函數；
（Ⅱ）若函數h(x)=ln

1-x

1+x

，判斷是否有h（x）∈M，說明理由；
（Ⅲ）若f（x）∈M且f(-

1

2

)=1，求函數y=f(x)+

1

2

的所有零點．

Answer 1

分析：（I）令x=y=O，由已知可得f（0）=0，令y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，進而根據奇函數的定義可得y=f（x）在定義域上為奇函數；
（Ⅱ）根據函數的解析式h(x)=ln

1-x

1+x

，求出函數的定義域，并驗證條件①②③是否成立，進而根據集合M的定義判斷h（x）∈M是否成立；
（III）根據已知分析函數的單調性，結合單調函數的圖象和性質可以分析出函數在定義域上至多有一個零點，結合f(-

1

2

)=1可求出該零點．

解答：證明：（I）若函數f（x）∈M，
則函數的定義域為（-1，1），關于原點對稱
令x=y=O，則由f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)得f（0）+f（0）=f（0）
即f（0）=0
令y=-x
則f（x）+f（-x）=f（0）=0
即y=f（x）在定義域上為奇函數；
（Ⅱ）h（x）∈M，理由如下：
函數h(x)=ln

1-x

1+x

的定義域為（-1，1），滿足條件①
且h(x)+h(y)=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln

1-x

1+x

•

1-y

1+y

=ln

1+xy-x-y

1+xy+x+y

h(

x+y

1+xy

)=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=ln

1+xy-x-y

1+xy+x+y

故h（x）+h（y）=h(

x+y

1+xy

)，滿足條件②
當-1＜x＜0時，

1-x

1+x

＞1，此時h（x）＞0，滿足條件③
故h（x）∈M
（III）令-1＜x＜y＜1，則x-y＜0，1-xy＞0，則

x-y

1-xy

＜0
由f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)及（1）可得f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)
又∵當x＜0時，f（x）＞0
∴f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)＞0
即f（x）＞f（y）
故f（x）在區(qū)間（-1，1）上為減函數，故函數至多有一個零點
∵f(-

1

2

)=1，∴f(

1

2

)=-1
又∵當x=y=2-

3

時，f(2-

3

)+f(2-

3

)=f(

1

2

)
∴f(2-

3

)=-

1

2

，此時y=f(x)+

1

2

=0
故函數y=f(x)+

1

2

的零點為2-

3

點評：本題是函數奇偶性與單調性的綜合應用，同時又有一個比較難理解的新定義集合M，且（III）中函數零點的求法難度也比較大．