Question

已知數列滿足，，，是數列 的前項和．

(1)若數列為等差數列．

（ⅰ）求數列的通項；

（ⅱ）若數列滿足，數列滿足，試比較數列 前項和與前項和的大小；

(2)若對任意，恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（ⅰ）；（ⅱ）詳見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）（ⅰ）由可得，在遞推關系式中，由可求，進而求出，于是可利用是等差數列求出的值，最后可求出的通項公式，（ⅱ）易知，所以要比較和的大小，只需確定的符號和和1的大小關系問題，前者易知為正，后者作差后判斷符號即可；（2）本題可由遞推關系式通過變形得出，于是可以看出任意，恒成立，須且只需，從而可以求出的取值范圍．

試題解析：(1)（ⅰ）因為，所以，

即，又，所以， 2分

又因為數列成等差數列，所以，即，解得，

所以； 4分

（ⅱ）因為，所以，其前項和，

又因為， 5分

所以其前項和，所以， 7分

當或時，；當或時，；

當時，． 9分

（2）由知，

兩式作差，得， 10分

所以,

再作差得， 11分

所以，當時，；

當時，；

當時，；

當時，； 14分

因為對任意，恒成立，所以且，

所以，解得，，故實數的取值范圍為． 16分

考點：等差數列、等比數列與函數、不等式的綜合運用.