Question

已知函數（為自然對數的底數），（為常數），是實數集上的奇函數．
（1）求證：；
（2）討論關于的方程：的根的個數；
（3）設，證明：（為自然對數的底數）．

Answer 1

（1）證明詳見解析.（2）；；.（3）證明詳見解析.

試題分析：（1）構造函數則，求出>0時x的取值，即函數h（x）的單調增區間，時x的取值，即函數h（x）的單調減區間，可得即即可.（2）由是 上的奇函數可得，構造函數求，根據導數的性質求出函數的單調區間，函數的最大值為，然后再根據直線y=m與函數的交點個數判斷原方程根的個數情況.（3）由（1）知,令，
試題解析：（1）證:令,令時
時,.  ∴
∴ 即.   4分
（2）為R上的奇函數，
令
   8分

。
（3）由（1）知,令，則，所以原式=++···++1，然后用縮放法證明即可.
于是，
∴=++···++1
++···++1=    .12分