Question

已知函數f(x)＝.

(1)函數f(x)在點(0，f(0))的切線與直線2x＋y－1＝0平行，求a的值；

(2)當x∈[0,2]時，f(x)≥恒成立，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）a＝3（2）

【解析】(1)f′(x)＝，f′(0)＝1－a，因為函數f(x)在點(0，f(0))的切線與直線2x＋y－1＝0平行，所以1－a＝－2，a＝3.

(2)f′(x)＝，令f′(x)＝0，

當a＝0時，解得x＝1，在(0,1)上，

有f′(x)>0，函數f(x)單增；在(1,2)上，有f′(x)<0，函數f(x)單減，而f(0)＝0，f(2)＝，函數f(x)的最小值為0，結論不成立．

當a≠0，解得x1＝1，x2＝1－.

若a<0，f(0)＝a<0.結論不成立；

若0<a≤1，則1－≤0，在(0,1)上，有f′(x)>0，

函數f(x)單增；在(1,2) 上，有f′(x)<0，函數f(x)單減．只需得到所以≤a≤1；

若a>1,0<1－<1，在上，有f′(x)<0，函數f(x)單減；在上，有f′(x)>0，函數f(x)單增；在(1,2)上有f′(x)<0，函數f(x)單減．函數在x＝1－有極小值，只需得到

因為2a－1>1，e－1－<1，所以a>1.綜上所述，a的取值范圍是