Question

某地區森林原有木材存量為a，且每年增長率為25%，因生產建設的需要每年年底要砍伐的木材量為b，設a_n為n年后該地區森林木材的存量．
（1）求a_n的表達式；
（2）為保護生態環境，防止水土流失，該地區每年的森林木材存量不少于

7

9

a，如果b=

19a

72

，那么該地區今后會發生水土流失嗎？若會，需要經過幾年？（參考數據：lg2=0.3）

Answer 1

分析：（1）要求出a_n的表達式，主要思路是求出前幾項然后觀察規律，從而推出得出a_n的表達式，求解即可
（2）只需代入b=

19a

72

，化簡后的指數式轉化利用對數的運算即可順利解答．

解答：解：（1）設第一年的森林的木材存量為a₁，
第n年后的森林的木材存量為a_n，
則a1=a(1+

1

4

)-b=

5

4

a-b，a2=

5

4

a1-b=(

5

4

)2a-(

5

4

+1)b，a3=

5

4

a2-b=(

5

4

)3a-[(

5

4

)2+

5

4

+1]b，
所以an=(

5

4

)na-[(

5

4

)n-1+(

5

4

)n-2+…+1]=(

5

4

)na-4[(

5

4

)n-1]b(n∈N*)．
（2）當b=

19

72

a時，有an＜

7

9

a得(

5

4

)na-4[(

5

4

)n-1]×

19

72

a＜

7

9

a即(

5

4

)n＞5，
所以，n＞

lg5

lg5-2lg2

=

1-lg2

1-3lg2

≈7.2．
答：經過8年后該地區就開始水土流失．

點評：本題的背景較為熟悉，所用的知識是遞推數列的概念，函數思想．嚴格意義上說，由a₁，a₂，得出a_n的表達式，需要證明，但此處的應用問題主要是求出即可，證明大可不必．解答（2）直接代入化簡即可，要解答(

5

4

)n＞5，轉化為對數的運算是解答本題的關鍵，兩邊取常用對數可解答．