Question

（本小題滿分分）在平面直角坐標系中，已知兩個定點和．動點在軸上的射影是（隨移動而移動），若對于每個動點M總存在相應的點滿足，且．
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）設過定點的直線（直線與軸不重合）交曲線于，兩點，求證：直線與直線交點總在某直線上．

Answer 1

（1）；（2）略

（Ⅰ）設，則，，，，
由，得，
即軌跡的方程為．--------4分
（Ⅱ）若直線的斜率為時，直線：，設，．
聯立，得，
即，---------------5分
觀察得，，
即，
直線：，直線：，
聯立：，
解之：；所以：；
若軸時，不妨得，，則此時，
直線：，直線：，
聯立，解之，，即交點也在直線：上.------12分