Question

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，AB=BD=2CD，現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設點E為棱AD的中點．
（1）求證：DC⊥平面ABC；
（2）求BE與平面ABC所成角的正弦值大小．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直證明線面垂直，進而可得線線垂直，再利用∠C=90°，可得DC⊥BC，從而可得線面垂直；
（2）取AC中點F，連接EF、FB，證明EF⊥平面ABC，可得∠EBF為BE與平面ABC所成角，從而可求BE與平面ABC所成角的正弦值大小．

解答：（1）證明：∵∠A=45°，AB=BD，∴∠ABD=90°，∴AB⊥BD
∵平面ABD⊥平面BDC，平面ABD∩平面BDC=BD
∴AB⊥平面BDC，
∵DC?平面BDC，∴AB⊥DC
∵∠C=90°，∴DC⊥BC
∵AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC；
（2）解：取AC中點F，連接EF、FB，則

∵點E為棱AD的中點，∴EF∥DC，EF=

1

2

DC
∵DC⊥平面ABC
∴EF⊥平面ABC，
∴∠EBF為BE與平面ABC所成角
∵BE=

2

2

AB
∴sin∠EBF=

EF

BE

=

1 4 AB

2 2 AB

=

2

4

∴BE與平面ABC所成角的正弦值為

2

4

點評：本題考查面面垂直的性質，考查線面垂直，考查線面角，正確運用線面垂直的判定，作出線面角是關鍵．