Question

若對定義在R上的可導函數f（x），恒有（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0，（其中f′（2x）表示函數f（x）的導函數f′（x）在2x的值），則f（x）（　　）

A．恒大于等于0	B．恒小于0
C．恒大于0	D．和0的大小關系不確定

Answer 1

函數g（x）=

x4f(2x)

ex

，
則g′(x)=

[x4f(2x)]′ex-x4f(2x)?[ex]′

[ex]2

=

4x3f(2x)+2x4f′(2x)-x4f(2x)

ex

=

(4x3-x4)f(2x)+2x4f′(2x)

ex

=

x3[(4-x)f(2x)+2f′(2x)]

ex

，
∵（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0恒成立，
∴當x＞0時，g'（x）＞0，此時函數g（x）單調遞增，
當x＜0時，g'（x）＜0，此時函數g（x）單調遞減，
∴當x=0時，g（x）取得極小值，同時也是最小值g（0）=0，
∴g（x）=

x4f(2x)

ex

≥g（0），
即g（x）=

x4f(2x)

ex

≥0，當x≠0時，g（x）＞0，
∴當x≠0時，f（x）＞0，
∵（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0恒成立，
∴當x=0時，4f（0）+0＞0恒成立，
∴f（0）＞0，
綜上無論x取何值，恒有f（x）＞0，
故選C．