Question

已知函數f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），若函數f（x）的最小值是f（-1）=0，f（0）=1且對稱軸是x=-1，g（x）=

f(x)  (x＞0) -f(x) (x＜0)

（1）求g（2）+g（-2）的值：
（2）在（1）條件下求f（x）在區間[t，t+2]（t∈R）的最小值w．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）的最小值是f（-1）=0，f（0）=1且對稱軸是x=-1，列出方程組求出a，b，c，從而得到f（x）的解析式，再代入到g（x）中求出g（x）的解析式，從而得到答案；
（2）根據對稱軸為x=-1可能在區間[t，t+2]的左、中、右三種情況分別列出不等式，再根據二次函數的圖象分別求出最值，從而得到f（x）的最小值w．

解答：解：（1）由題意得

f(-1)=0 f(0)=1 x=- b 2a =-1

，∴

a-b+c=0 c=1 b=2a

，∴

a=1 c=1 b=2

，
∴f（x）=（x+1）²，∴g(x)=

(x+1)2    (x＞0) -(x+1)2  (x＜0)

，
∴g（2）+g（-2）=8．
（2）當t+2≤-1時，即t≤-3時，
f（x）=（x+1）²在區間[t，t+2]上單調遞減，∴f(x)min=f(t+2)=(t+3)2，
當t＜-1＜t+2時，即-3＜t＜-1時，
f（x）=（x+1）²在區間[t，-1]上單調遞減，f（x）=（x+1）²在區間[-1，t+2]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（-1）=0，
當t≥-1時，f（x）=（x+1）²在區間[t，t+2]上單調遞增，
∴f(x)min=f(t)=(t+1)2，
綜上所述，W=

(t+3)2，  t≤-3 0 ，          -3＜t＜-1 (t+1)2，    t≥-1

．

點評：本題考查了求二次函數的解析式以及最值問題．求解析式使用了待定系數法，求二次函數的最值問題運用了分類討論的思想方法．屬于中檔題．