Question

已知橢圓:的離心率,原點到過點,的直線的距離是.

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓上一動點關于直線的對稱點為,求 的取值范圍；

（3）如果直線交橢圓于不同的兩點,,且,都在以為圓心的圓上,求的值.

 

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）由截距式可得直線的方程，根據點到線的距離公式可得間的關系，又因為，解方程組可得的值。（2）由點關于直線的對稱點問題可知直線和直線垂直，且的中點在直線上，由此可用表示出。再將點代入橢圓方程將用表示代入上式，根據橢圓方程可的的范圍，從而可得出所求范圍。（3）將直線和橢圓方程聯立，消去得關于的一元二次方程，根據韋達定理可得根與系數的關系。根據題意可知，可根據斜率相乘等于列出方程，也可轉化為向量數量積為0列出方程。

試題解析：(Ⅰ)因為,,所以 .

因為原點到直線:的距離,解得,.

故所求橢圓的方程為. 4分

(Ⅱ)因為點關于直線的對稱點為,

所以 解得 ,.

所以.

因為點在橢圓:上,所以.

因為, 所以.所以的取值范圍為. 8分

(Ⅲ)由題意消去 ,整理得.可知.

設,,的中點是,

則,.

所以. 所以.

即 . 又因為,

所以.

所以 13分

考點：1點到線的距離； 2橢圓方程；3點關于線的對稱點；4轉換思想。