Question

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得對(duì)任意的，為定值，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在點(diǎn)使得為定值.

解析試題分析：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則本題中有，已知三角形的面積為4，說(shuō)明，這樣可以求得；（2）存在性命題的解法都是假設(shè)存在，然后想辦法求出.下面就是想法列出關(guān)于的方程，本題是直線與橢圓相交問(wèn)題，一般方法是設(shè)交點(diǎn)為，把直線方程代入橢圓方程交化簡(jiǎn)為，則有，，而，就可用表示，這個(gè)值為定值，即與無(wú)關(guān)，分析此式可得出結(jié)論．．
試題解析：（1）設(shè)橢圓的短半軸為，半焦距為，
則，由得，
由解得,則橢圓方程為.     （6分）
（2）由得 
設(shè)由韋達(dá)定理得：      

=
==，     （10分）
當(dāng)，即時(shí)，為定值，所以，存在點(diǎn)使得為定值（14分）．
考點(diǎn)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓相交問(wèn)題．