Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-3（n=1，2，…）．
（Ⅰ）證明：數列{a_n}是等比數列；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b_n=a_n+2n（n=1，2，…），求數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：（I）根據a_n=S_n-S_n-1可得a_n=2a_n-1，然后求出首項，根據等比數列的定義可判定數列{a_n}是等比數列；
（II）先求出數列{a_n}的通項公式，從而得到數列{b_n}的通項，然后根據通項的特征可知利用分組求和法進行求和即可．

解答：（Ⅰ）證明：因為S_n=2a_n-3（n=1，2，…）．，則S_n-1=2a_n-1-3（n=2，3，…）．…（1分）
所以當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，…（3分）
整理得a_n=2a_n-1．            …（4分）
由S_n=2a_n-3，令n=1，得S₁=2a₁-3，解得a₁=3．…（5分）
所以{a_n}是首項為3，公比為2的等比數列．    …（6分）
（Ⅱ）解：因為an=3•2n-1，…（7分）
由b_n=a_n+2n（n=1，2，…），得bn=3•2n-1+2n．
所以Tn=3(1+21+22+…+2n-1)+2(1+2+3+…+n)…（9分）
=3

1(1-2n)

1-2

+2•

n(n+1)

2

…（11分）
=3•2ⁿ+n²+n-3
所以Tn=3•2n+n2+n-3．   …（12分）

點評：本題主要考查了等比數列的判定，以及利用分組求和法求數列的和，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．