Question

已知數列{a_n}，其前n項和為S_n.
(1)若對任意的n∈N，a_2n－1，a_2n＋1，a_2n組成公差為4的等差數列，且a₁＝1，＝2013，求n的值；
(2)若數列是公比為q(q≠－1)的等比數列，a為常數，求證：數列{a_n}為等比數列的充要條件為q＝1＋.

Answer 1

（1）n＝1005（2）見解析

(1)解：因為a_2n－1，a_2n＋1，a_2n組成公差為4的等差數列，
所以a_2n＋1－a_2n－1＝4，a_2n＝a_2n－1＋8(n∈N^*)，
所以a₁，a₃，a₅，…，a_2n－1，a_2n＋1是公差為4的等差數列，且a₂＋a₄＋a₆＋…＋a_2n＝a₁＋a₃＋…＋a_2n－1＋8n.
又因為a₁＝1，所以S_2n＝2(a₁＋a₃＋…＋a_2n－1)＋8n＝2 ＋8n＝4n²＋6n＝2n(2n＋3)，
所以＝2n＋3＝2013，所以n＝1005.
(2)證明：因為＋a＝(a＋1)q^n－1，所以S_n＝(a＋1)q^n－1a_n－aa_n，①
所以S_n＋1＝(a＋1)qⁿa_n＋1－aa_n＋1，②
②－①，得(a＋1)(1－qⁿ)a_n＋1＝[a－(a＋1)q^n－1]a_n.③
(ⅰ)充分性：因為q＝1＋，所以a≠0，q≠1，a＋1≠aq，代入③式，得
q(1－qⁿ)a_n＋1＝(1－qⁿ)a_n.因為q≠－1，q≠1，
所以＝，n∈N^*，所以{a_n}為等比數列，
(ⅱ)必要性：設{a_n}的公比為q₀，則由③得
(a＋1)(1－qⁿ)q₀＝a－(a＋1)q^n－1，
整理得(a＋1)q₀－a＝(a＋1)  qⁿ，
此式為關于n的恒等式，若q＝1，則左邊＝0，右邊＝－1，矛盾；
若q≠±1，當且僅當時成立，所以q＝1＋.
由(ⅰ)、(ⅱ)可知，數列{a_n}為等比數列的充要條件為q＝1＋.