Question

已知α為銳角，且sinα=

4

5

．
（1）求tan(α-

π

4

)的值；
（2）求

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

的值．

Answer 1

分析：（1）由α為銳角及sinα的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cosα的值，進而得到tanα的值，然后把所求的式子利用兩角和與差的正切函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，將tanα的值代入即可求出值；
（2）所求式子分子第二項利用二倍角的正弦函數公式化簡，分母第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，合并后分子分母同時除以cos²α，利用同角三角函數間的基本關系弦化切后，將tanα的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵α為銳角，且sinα=

4

5

，
∴cosα=

1-sin2α

=

3

5

，
∴tanα=

4

3

，
則tan(α-

π

4

)=

tanα-1

1+tanα

=

1

7

；
（2）由（1）得到tanα=

4

3

，
則

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

=

sin2α+2sinαcosα

2cos2α-sin2α

=

tan2α+2tanα

2-tan2α

=20．

點評：此題考查了三角函數的化簡求值，涉及的知識有同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的正切函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵，第二小問弦化切的技巧是利用二倍角的正弦、余弦函數公式把原式變形后，分子分母同時除以cos²α．