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已知函數（a≠0且a≠1）．
（Ⅰ）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）已知當x＞0時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（Ⅲ）記（Ⅱ）中的函數的圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】分析：（1）對函數f（x）進行求導，令導函數大于0根據a的不同值求出x的范圍．
（2）令f'（）=0求出a即可得到答案．
（3）假設存在且設直線方程y=kx，根據點的對稱求出直線斜率即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）由題設知：．
①當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間為；
②當0＜a＜1時，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，0）及（0，+∞）；
③當a＞1時，函數f（x）的單調遞增區間為及．
（Ⅱ）由題設及（Ⅰ）中③知且a＞1，解得a=3，
因此，函數解析式為（x≠0）．
（Ⅲ）假設存在經過原點的直線l為曲線C的對稱軸，顯然x、y軸不是曲線C的對稱軸，
故可設l：y=kx（k≠0），設P（p，q）為曲線C上的任意一點，P'（p'，q'）與P（p，q）關于直線l對稱，且p≠p'，q≠q'，
則P'也在曲線C上，由此得，，且，，
整理得，解得或，
所以存在直線及為曲線C的對稱軸．
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負的關系，即導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=kx，（k≠0）且滿足f（x+1）•f（x）=x2+x，函數g（x）=ax，（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數f（x）為R上的增函數，h(x)=
f(x)+1
f(x)-1
(f(x)≠1)，問是否存在實數m使得h（x）的定義域和值域都為[m，m+1]？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）已知關于x的方程g（2x+1）=f（x+1）•f（x）恰有一實數解為x0，且x0∈(
1
4
，
1
2
)求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
1
2
x2-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（I）求函數f（x）的導函數f′（x）的最小值；
（II）當a=3時，求函數h（x）的單調區間及極值；
（III）若對任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，函數h（x）滿足
h(x1)-h(x2)
x1-x2
，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
1
2
x2-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（I）求函數f（x）的導函數f′（x）的最小值；
（II）當a=3時，求函數h（x0的單調區間及極值；
（III）若對任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，函數h（x）滿足
h(x1)-h(x2)
x1-x2
＞-1，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2008-2009學年四川省成都七中高三數學專項訓練：指數、對數函數（解析版） 題型：解答題

已知函數（a≠0且a≠1）．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調遞增區間；
（2）已知當x＞0時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）（理）記（2）中的函數的圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．
（文） 記（2）中的函數的圖象為曲線C，試問曲線C是否為中心對稱圖形？若是，請求出對稱中心的坐標并加以證明；若不是，請說明理由．

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