Question

某廠家擬在2013年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用萬元滿足（為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量是1萬件. 已知2013年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用）．
（1）將2013年該產品的利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數；
（2）該廠家2013年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

（1）y（2）3萬

試題分析：（1）利潤=銷售量x×每件產品是價格－固定投入8萬－再投入資金16x－促銷費用；
（2）根據基本不等式的性質求出y取最大值時的m值即可.
試題解析：（1）由題意可知，當時，，∴即，
∴，每件產品的銷售價格為元.
∴2013年的利潤
 
 
（2）∵時，.
∴，當且僅當，即時，.
答：該廠家2013年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元.