Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=

2

a，點E是SD上的點，且DE=λa（0＜λ≤2）
（Ⅰ）求證：對任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE
（Ⅱ）設二面角C-AE-D的大小為θ，直線BE與平面ABCD所成的角為φ，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．

Answer 1

分析：解法一：（幾何法）（Ⅰ）因為SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理只要證AC⊥BD即可．
（Ⅱ）先找出θ和φ，因為由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，二面角C-AE-D的平面角可由三垂線定理法作出．
再用λ表示出tanθ和tanφ，代入tanθ•tanφ=1，解方程即可．
解法二：（向量法）因為DA．DC．DS兩兩垂直，故可建立空間直角坐標系，由向量法求解．
（Ⅰ）寫出向量

AC

和

BE

的坐標，只要數(shù)量積為0即可．
（Ⅱ）分別求出平面ACE的法向量、平面ABCD與平面ADE的一個法向量，由夾角公式求出cosθ和sinφ，再由tanθ•tanφ=1求解即可．

解答：解：（Ⅰ）證法1：如圖1，連接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE
（Ⅱ）解法1：如圖1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，
∵SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SD⊥CD．
又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．
連接AE、CE，過點D在平面SAD內(nèi)作DF⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，
故∠CFD是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=θ．
在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa∴tanφ=

DE

BD

=

λ

2

在Rt△ADE中，∵AD=

2

a，DE=λa∴AE=a

λ2+2

從而DF=

AD•DE

AE

=

2 λa

λ2+2

在Rt△CDF中，tanθ=

CD

DF

=

λ2+2

λ

．
由tanθ•tanφ=1，得

λ2+2

λ

λ

2

=1即

λ2+2

=2，所以λ²=2．
由0＜λ≤2，解得λ=

2

，即為所求．


（Ⅰ）證法2：以D為原點，以DA．DC．DS的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如
圖2所示的空間直角坐標系，則
D（0，0，0），A（

2

，0，0），B（

2

a，

2

a，0），
C（0，

2

a，0），E（0，0，λa），
∴

AC

=(-

2

a，

2

a，0)，

BE

=(-

2

a，

2

a，λa)
∴

AC

•

BE

=2a2-2a2+0-λa=0，即AC⊥BE．
（Ⅱ）解法2：
由（I）得

EA

=(

2

a，0，-λa)，

EC

=(0，

2

a，-λa)，B

E

=(-

2

a，-

2a

，λa)．
設平面ACE的法向量為n=（x，y，z），則由n⊥

EA

，n⊥

EC

，
得

n• EA =0 n• EC =0

即

2 x-λz=0 2 y-λz=0

取z=

2

，得n(λ，λ，

2

)．
易知平面ABCD與平面ADE的一個法向量分別為

DS

=(0，0，2a)與

DC

=(0，

2

a，0)．
∴sinφ=

DS • BE

| DS |•| BE |

=

λ

λ2+4

，cosθ=

| DC •n|

| DC |•|n|

=

|λ|

2λ2+2

．
∵0＜θ＜

π

2

，λ＞0
∴tanθ•tanφ=1?θ+φ=

π

2

?sinφ=cosθ?

λ

λ2+4

=

λ

2λ2+2

?λ²=2．
由0＜λ≤2，解得λ=

2

，即為所求．

點評：本題考查空間線線垂直的證明、空間垂直之間的相互轉化、空間角的求解，考查邏輯推理能力和運算能力．