Question

設函數f ( x ) =  (a ??N*), 又存在非零自然數m, 使得f (m ) = m ,

f (– m ) < –成立.

(1) 求函數f ( x )的表達式;

(2) 設{a_n}是各項非零的數列, 若對任意n??N*成立, 求數列{a_n}的一個通項公式;

在(2)的條件下, 數列{a_n}是否惟一確定? 請給出判斷, 并予以證明.  

Answer 1

（1）f ( x ) =  ( x ?? 1).

（2）   a_n= – 1 + (n – 1 )( – 1)= – n .

（3）滿足條件的數列不惟一.

解析:

(1) 由, 得               

由(1)得 m = ,

當a = 2時, m = 2, 滿足(2)式;

當a = 3時, m = 1, 不滿足(2)式, 舍去. 得f ( x ) =  ( x ?? 1).        

(2) 由條件得

∴ a_n(1 – a_n) = 2S_n    (3)  ,                                              

令n = 1,得 a₁ = –1, 

又a_{n – 1} (1 – a_{n – 1} ) = 2S _{n – 1} ,    ∴( a_n + a _{n – 1} )( a_n + 1 – a _{n – 1} )= 0,

由a_n – a _{n – 1} = – 1 , a₁ = –1,得{a_n}是首項為– 1, 公差為– 1的等差數列,

∴ a_n= – 1 + (n – 1 )( – 1)= – n .                                           

(3) 由(2)知,滿足條件的數列不惟一.

   考慮到a₁ ?? 1, 由 a_n = – a _{n – 1} 及a_n – a _{n – 1} = – 1和a₁ = –1,

構造數列{ –1, –2, 2,–2, –3, – 4, … , – n +2, … }.                          

用數學歸納法證明,該數列滿足(3)式,

當n = 1, 2, 3, 4, 5時,直接代入可得(3)式成立,

假設n = k ( k ?? 5)時,(3)成立, 則n = k + 1時,

S_k+1 =S _k + a _k+1 = a_k(1 – a_k) + a _{k + 1} = (–a _{k +1})(1 + a_k+1) + a _{k + 1} =a_k+1(1 – a _k+1).

  所以n = k + 1時(3)式成立, 即該數列滿足題設條件.

  得滿足條件的數列不惟一.     

構造數列也可能是:

{ –1, 1, –1, –2, –3, – 4, … , – n , … };

{ –1, –2,2, –2, 2, –2, … , (–1) ^{n – 1} 2 , … }( n > 1 )

{ –1, –2,2, –2, –3, – 4, … , – n , … }等等.