Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，f（2）=0，[xf（x）]′＞0（x＞0），則不等式f（x）≤0的解集是

（-∞，-2]∪[0，2]

．

Answer 1

分析：構造函數F（x）=xf（x），利用函數F（x）的單調性研究函數f（x）≤0的解集問題．

解答：解：設F（x）=xf（x），因為f（x）是定義在R上的奇函數，所以F（x）為偶函數，
當x＞0時，[xf（x）]′＞0，即F（x）單調遞增，因為f（2）=0，所以F（2）=0，F（-2）=0．
F（0）=0．
所以F（x）取值的草圖為：（圖象知體現單調性）．
當x＞0時，f（x）≤0與F（x）=xf（x）≤0同解，
由圖象可知，此時0＜x≤2．
當x＜0時，f（x）≤0，則F（x）=xf（x）≥0，此時x≤-2．
當x=0時，f（0）=0≤0也成立．
綜上不等式f（x）≤0的解為：0≤x≤2或x≤-2．
即不等式f（x）≤0的解集（-∞，-2]∪[0，2]．
故答案為：（-∞，-2]∪[0，2]．

點評：本題主要考查函數的單調性和導數之間的關系，要求熟練掌握函數單調性的應用，
構造函數F（x）=xf（x），利用F（x）的圖象和性質是解決本題的關鍵，綜合性較強．