Question

（本小題滿分12分）
如圖所示，在直棱柱中，，，的中點(diǎn).

（1）求證：∥；
（2）求證：；
（3）在上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，試確定的位置，并判斷與平面是否垂直？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）證明：如圖，連結(jié)，與交于，則為的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，∥，又平面平面，∥平面.
（2）證明：由平行四邊形為菱形，得.又由線面垂直得出.在直三棱柱中，.
（3）分別為的中點(diǎn)，∥..
，.

試題分析：（1）證明：如圖，連結(jié)，與交于，則為的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，∥，又平面平面，∥平面.
（2）證明：平行四邊形為菱形，.又.又在直三棱柱中，.
（3）設(shè)，由于，在中，有
.
在中，由余弦定理得，
即，
，即分別為的中點(diǎn)，∥..
，.
點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用向量則能簡(jiǎn)化證明過(guò)程。本題（3），利用代數(shù)方法，達(dá)到證明目的。