Question

設a₁=2，a₂=4，數列{b_n}滿足：b_n=a_n+1-a_n，b_n+1=2b_n+2，
（1）求證：數列{b_n+2}是等比數列（要指出首項與公比），
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用b_n+1=2b_n+2，構造數列{b_n+2}，通過等比數列的定義，證明數列是等比數列；
（2）利用（1）求出數列b_n=2ⁿ⁺¹-2．通過b_n=a_n+1-a_n，推出數列a_n的遞推關系式，利用累加法求出數列的通項公式即可．

解答：解：（1）b_n+1=2b_n+2⇒b_n+1+2=2（b_n+2），
∵

bn+1+2

bn+2

=2，又b₁+2=a₂-a₁=4，
∴數列{b_n+2}是首項為4，公比為2的等比數列．
（2）由（1）可知b_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹．∴b_n=2ⁿ⁺¹-2．則a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2
令n=1，2，…n-1，則a₂-a₁=2²-2，a₃-a₂=2³-2，…，a_n-a_n-1=2ⁿ-2，
各式相加得a_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-2（n-1）=2ⁿ⁺¹-2-2n+2=2ⁿ⁺¹-2n．
所以a_n=2ⁿ⁺¹-2n．

點評：本題主要考查數列的證明，數列的遞推關系式的應用，通項公式的求法，考查計算能力，邏輯推理能力，屬于基礎題．