Question

設實數，整數，.
（1）證明：當且時，；
（2）數列滿足，，證明：.

Answer 1

（1）證明：當且時，；（2）.

試題分析：（1）證明原不等式成立，可以用數學歸納法，當時，當，由成立.得出當時，
，綜合以上當且時，對一切整數，不等式均成立.（2）可以有兩種方法證明：第一種方法，先用數學歸納法證明.其中要利用到當時，.當得.由（1）中的結論得.因此，即.所以時，不等式也成立.綜合①②可得，對一切正整數，不等式均成立.再證由可得，即.第二種方法，構造函數設，則，并且
.由此可得，在上單調遞增，因而，當時，.再利用數學歸納法證明.
（1）證明：用數學歸納法證明
①當時，，原不等式成立.
②假設時，不等式成立.
當時，
所以時，原不等式也成立.
綜合①②可得，當且時，對一切整數，不等式均成立.
證法1：先用數學歸納法證明.
①當時，由題設知成立.②假設時，不等式成立.
由易知.
當時，.
當得.
由（1）中的結論得.
因此，即.所以時，不等式也成立.
綜合①②可得，對一切正整數，不等式均成立.
再由可得，即.
綜上所述，.
證法2：設，則，并且
.
由此可得，在上單調遞增，因而，當時，.
①當時，由，即可知
，并且，從而.
故當時，不等式成立.
②假設時，不等式成立，則當時，，即有.
所以當時，原不等式也成立.
綜合①②可得，對一切正整數，不等式均成立.