Question

如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點．已知炮彈發射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k²)x²(k>0)表示的曲線上，其中k與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．

(1)求炮的最大射程；

(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．

Answer 1

解析　(1)令y＝0，得kx－(1＋k²)x²＝0，由實際意義和題設條件知x>0，k>0，故x＝＝10，當且僅當k＝1時取等號．

所以炮的最大射程為10千米．

(2)因為a>0，所以炮彈可擊中目標⇔存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k²)a²成立⇔

關于k的方程a²k²－20ak＋a²＋64＝0有正根⇔

判別式Δ＝(－20a)²－4a²(a²＋64)≥0⇔a≤6.

所以當a不超過6(千米)時，可擊中目標．