Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n項和S_n滿足a_n+1+S_n-1=S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}為等差數列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設T_n為數列{

1

anan+1

}的前n項和，求T_n
（Ⅲ）若T_n≤γa_n+1對一切n∈N^*恒成立，求實數γ的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差數列的定義證明數列，并求數列的通項公式．
（Ⅱ）利用裂項法求數列的和．（Ⅲ）將不等式條件T_n≤γa_n+1轉化為γ≥

Tn

an+1

，進而求實數γ的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，a_n+1+S_n-1=S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
a_n+1=S_n-S_n-1+1=a_n+1，（n≥2，n∈N^*）．所以a_n+1-a_n=1，
又因為a₂-a₁=3-2=1，所以數列{a_n}是公差為1的等差數列，首項為2．
所以a_n=2+n-1=n+1．
（Ⅱ）因為

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
所以Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．
（Ⅲ）因為T_n≤γa_n+1，所以

n

2(n+2)

≤γ(n+2)，即

n

2(n+2)2

≤γ．
因為

n

2(n+2)2

=

n

2(n2+4n+4)

=

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

2(4+2 n? 4 n )

=

1

2×8

=

1

16

，
當且僅當n=

4

n

，即n2=4，n=2取等號．
所以γ的最小值為

1

16

    …（10分）

點評：本題主要考查了等差數列的定義以及通項公式，以及利用裂項法求數列的前n項和．運算量較大，要求熟練掌握相關的公式．