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在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB=FB=1．
（ I）求二面角C-DE-C1的正切值；（ II）求直線EC1與FD1所成的余弦值．
（I）以A為原點，
AB
，
AD
，
AA1
分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標系，
則有D（0，3，0）、D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2）
于是，
DE
=(3，-3，0)，
EC1
=(1，3，2)，
FD1
=（-4，2，2）
設向量
n
=(x，y，z)與平面C1DE垂直，則有cosβ=
EC1
•
FD1
|
EC1|
×|
FD1
|
=
1×(-4)+3×2+2×2
12+32+22
×
(-4)2+22+22
=
21
14
n
⊥
DE
n
⊥
EC1
⇒
3x-3y=0
x+3y+2z=0
⇒x=y=-
1
2
z
∴
n
=(-
z
2
，-
z
2
，z)=
z
2
（-1，-1，2），其中z＞0
取
n0
=(-1，-1，2)，則
n0
是一個與平面C1DE垂直的向量，
∵向量
AA1
=（0，0，2）與平面CDE垂直，
∴
n0
與
AA1
所成的角θ為二面角C-DE-C1的平面角
∵cosθ=
n0
•
AA1
|n0
|×
|AA1
|
=
-1×0-1×0+2×2
1+1+4
×
0+0+4
=
6
3

∴tanθ=
2
2

（II）設EC1與FD1所成角為β，則cosβ=
EC1
•
FD1
|
EC1|
×|
FD1
|
=
1×(-4)+3×2+2×2
12+32+22
×
(-4)2+22+22
=
21
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練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
13
，PB=
29
，求PC與AB所成角的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖在空間直角坐標系中BC=2，原點O是BC的中點，點A的坐標是（
3
2
，
1
2
，0），點D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（I）求向量
OD
的坐標；
（Ⅱ）設向量
AD
和
BC
的夾角為θ，求cosθ的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，A1A⊥平面ABC，A1A=AB=AC，AB⊥AC，點D是BC上一點，且AD⊥C1D．
（1）求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）求證：A1B∥平面ADC1；
（3）求二面角C-AC1-D大小的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形，，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．
（1）求證：面EFG⊥面PAB；
（2）求異面直線EG與BD所成的角的余弦值；
（3）求點A到面EFG的距離．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，F是PD的中點，E是線段AB上的點．
（Ⅰ）當E是AB的中點時，求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）要使二面角P-EC-D的大小為45°，試確定E點的位置．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知在長方體ABCD-A′B′C′D′中，點E為棱CC′上任意一點，AB=BC=2，CC′=1．
（Ⅰ）求證：平面ACC′A′⊥平面BDE；
（Ⅱ）若點P為棱C′D′的中點，點E為棱CC′的中點，求二面角P-BD-E的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知正方形ABCD的邊長為1，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對角線BD折起，使AC=1，得到三棱錐A-BCD，如圖所示．
（Ⅰ）若點M是棱AB的中點，求證：OM∥平面ACD；
（Ⅱ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅲ）求二面角A-BC-D的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知分別為橢圓的上、下焦點,是拋物線的焦點,點是與在第二象限的交點, 且
（1）求橢圓的方程;
（2）與圓相切的直線交橢于,若橢圓上一點滿足,求實數的取值范圍.

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