Question

（2013•樂山一模）已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數f（x）=

2x 1-2x ，x≠ 1 2 -1，x= 1 2

的圖象上的兩點（可以重合），點M在直線x=

1

2

上，且

AM

=

MB

．則y₁+y₂的值為

-2

．

Answer 1

分析：根據題意設出M的坐標，結合條件代入

AM

=

MB

，利用向量相等求出x₁+x₂的值，再由A和B再函數f（x）的圖象進行分類，把兩點的坐標代入對應的解析式進行化簡求值．

解答：解：∵點M在直線x=

1

2

上，∴點M的坐標是（

1

2

，y），
∵

AM

=

MB

，∴（

1

2

-x₁，y-y₁）=（x₂-

1

2

，y₂-y），即

1 2 -x1=x2- 1 2 y-y1=y2-y

，
得x₁+x₂=1，且y₁+y₂=2y，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數f（x）=

2x 1-2x ，x≠ 1 2 -1，x= 1 2

的圖象上的兩點（可以重合），
∴分兩種情況求解：
①當x₁=x₂=

1

2

時，y₁+y₂=-2；
②當x₁≠x₂時，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=

2x1

1-2x1

+

2x2

1-2x2

=

2x1(1-2x2)+2x2(1-2x1)

(1-2x1)(1-2x2)

=

2(x1+x2)-8x1x2

(1-2x1)(1-2x2)

=

2(x1+x2)-8x1x2

1-2(x1+x2)+4x1x2

=

2-8x1x2

-1+4x1x2

=-2，
綜上得，y₁+y₂=-2，
故答案為：-2

點評：本題考查了向量的坐標運算，向量相等的應用，以及分段函數求值等綜合問題，考查了分類討論、整體思想，以及計算能力．