Question

（2008•南京二模）如圖，半圓的直徑AB=2，O為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值是

-

1

2

．

Answer 1

分析：由向量的加法，可得

PA

+

PB

=2

PO

，將其代入(

PA

+

PB

)•

PC

中，變形可得(

PA

+

PB

)•

PC

=-2（|

PO

|-

1

2

）²-

1

2

，由二次函數的性質，計算可得答案．

解答：解：根據題意，O為圓心，即O是AB的中點，則

PA

+

PB

=2

PO

，
則(

PA

+

PB

)•

PC

=2

PO

•

PC

=2|

PO|

•|

PC

|cosπ=-2|

PO

|(1-|

PO

|)=2(|

PO

|-

1

2

)2-

1

2

≥-

1

2

，
即(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值是-

1

2

；
故答案為-

1

2

．

點評：本題考查數量積的運算，關鍵是根據O是AB的中點，得到

PA

+

PB

=2

PO

，將求(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值轉化為一元二次函數的最小值問題．