Question

已知f(x)是以3為周期的奇函數，且f(1)=1,又a=sinθ+bcosθ.

（1）若a=b=，求f(tanθ+cotθ)的值；

（2）若b=a且θ∈［0,］,求a的取值范圍.

Answer 1

解：（1）由a=b=,a=sinθ+bcosθ得

sinθ+cosθ=,

將上式兩邊平方得sinθcosθ=.

又tanθ+cotθ==-4,

而f(x)是以3為周期的奇函數且f(1)=1.

∴f（tanθ+cotθ）=f(-4)=-f(4)=-f(1)=-1.

（2）由b=a,a=sinθ+bcosθ得

（1+cosθ）a=sinθ.

∵θ∈［0,］，

∴1+cosθ≠0.

∴a=.

∵∈［0,］且正切函數在［0,］上是增函數，

∴0≤tan≤tan=1.

∴a的取值范圍是0≤a≤1.