Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=

1

2

AA1=a，∠BAC=90°，D為棱d=

3 5

10

的中點．
（I）證明：A₁D⊥平面ADC；
（II）求異面直線A₁C與C₁D所成角的大小；
（III）求平面A₁CD與平面ABC所成二面角的大小（僅考慮銳角情況）．

Answer 1

分析：（I）為了證明A₁D⊥平面ADC，只需證明A₁D垂直平面ADC內的兩條相交直線AD和CA，即可．
（II）連AC₁交A₁C于E點，取AD中點F，連EF、CF，則EF∥C₁D，∠CEF是異面直線A₁C與C₁D所成的角，求解即可；
（III）延長A₁D與AB延長線交于G點，連接CG，過A作AH⊥CG于H點，連A₁H，則∠A₁HA是二面角A₁-CG-A的平面角，即所求二面角的平面角，求解即可．

解答：解：（I）證：∵△A₁B₁D和△ABD都為等腰直角三角形
∴∠A₁DB₁=∠ADB=45°∴∠A₁DA=90°，即A₁D⊥AD（2分）
又∵

CA⊥AB CA⊥A1A

?

CA⊥平面A1ABB1 A1D?平面A1ABB1

?CA⊥A1D
∴A₁D⊥平面ADC（4分）

（II）解：連AC₁交A₁C于E點，取AD中點F，連EF、CF，則EF∥C₁D
∴∠CEF是異面直線A₁C與C₁D所成的角（或補角）（5分）
EF=

1

2

C1D=

3

2

a，CE=

1

2

A1C=

5

2

a，CF=

CA2+AF2

=

6

2

a
在△CEF中，cos∠CEF=

CE2+EF2-CF2

2CE•EF

=

15

15

（8分）
∴∠CEF=arccos

15

15

則異面直線A₁C與C₁D所成角的大小為arccos

15

15

（9分）

（III）解：延長A₁D與AB延長線交于G點，連接CG
過A作AH⊥CG于H點，連A₁H，∵A₁A⊥平面ABC，∴A₁H⊥CG（三垂線定理）
則∠A₁HA是二面角A₁-CG-A的平面角，即所求二面角的平面角（10分）
在直角三角形ACG中，∵AC=a，AG=2a∴CG=

5

a，∴AH=

AC•AG

CG

=

2 5

5

a（11分）
在直角三角形A₁AH中，tan∠A1HA=

A1A

AH

=

5

（13分）
∴∠A1HA=arctan

5

，
即所求的二面角的大小為arctan

5

（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，異面直線所成的角、二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．