Question

（本小題滿分14分）設函數，其圖象對應的曲線設為G．（Ⅰ）設、、，為經過點（2，2）的曲線G的切線，求的方程；

       （Ⅱ）已知曲線G在點A、B處的切線的斜率分別為0、，求證：；

       （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當時，恒成立，求常數的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）略（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）由題設，∴，由于點（2，2）不在曲線G上，

       可設切點為，所求切線方程為，由，消去得，∴，或，即對應的切點為（0，0），或，

       當時，，，所求的切線方程為，…2分

       當時，，，所求切線方程為；…4分

       （Ⅱ）由已知，依題意有

       ，，即，

       從而、、三數中至少有一個正數一個負數，∴總有，，

       若，由有，∴，∴，

       又，∴，故得，從而，矛盾，

       ∴必有，∴ ，∴可得；………8分

       （Ⅲ）即， 整理即得，設，則

       設為的函數，由條件（Ⅱ），欲不等式恒成立，即在時恒成立，∴，∴，解得，或，

       依題意，∴，即所求的的最小值為．

       本題綜合考查曲線的概念、一次函數的性質、導數的幾何意義、不等式的解法與證明，屬難題．