Question

計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.
（1）求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；
（2）水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量限制，并有如下關系:

年入流量
發電量最多可運行臺數	1	2	3

 
若某臺發電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？

Answer 1

（1）0.9477；（2）8620, 2.

解析試題分析：（1）先求，，，再利用二項分布求解；（2）記水電站年總利潤為（單位：萬元）①安裝1臺發電機的情形.②安裝2臺發電機.③安裝3臺發電機，分別求出，比較大小，再確定應安裝發電機臺數.
（1）依題意，，
，，
由二項分布，在未來4年中至多有1年入流量找過120的概率為：
.
（2）記水電站年總利潤為（單位：萬元）
①安裝1臺發電機的情形.
由于水庫年入流量總大于40，所以一臺發電機運行的概率為1，
對應的年利潤，.
②安裝2臺發電機.
當時，一臺發電機運行，此時，
因此，
當時，兩臺發電機運行，此時，
因此.由此得的分布列如下：

	4200	10000
	0.2	0.8

 
所以.
③安裝3臺發電機.
依題意，當時，一臺發電機運行，此時，
因此；
當時，兩臺發電機運行，此時，
此時，
當時，三臺發電機運行，此時，
因此，
由此得的分布列如下：

	34	9200	15000
	0.2	0.8	0.1

 
所以.
綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺.
考點：二項分布，隨機變量的均值.