Question

稱滿足以下兩個條件的有窮數列為階“期待數列”：
①；②.
（1）若數列的通項公式是，
試判斷數列是否為2014階“期待數列”，并說明理由；
（2）若等比數列為階“期待數列”，求公比q及的通項公式；
（3）若一個等差數列既是階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；

Answer 1

（1）是；
（2）．或；
（3）；

試題分析：（1）判斷數列是不是為2014階“期待數列”，就是根據定義計算，，是不是一個為0，一個為1，如是則是“期待數列”，否則就不是；（2）數列中等比數列，因此是其前和，故利用前前項和公式，分和進行討論，可很快求出，或；（3）階等差數列是遞增數列，即公差，其和為0，故易知數列前面的項為負，后面的項為正，即前項為正，后項為正，因此有，，這兩式用基本量或直接相減可求得，，因此通項公式可得．
試題解析：（1）因為，          2分
所以

，
所以數列為2014階“期待數列”           4分
（2）①若，由①得，，得，矛盾．     5分
若，則由①=0，得，     7分
由②得或．
所以，．數列的通項公式是
或            9分
（3）設等差數列的公差為，>0．
∵，∴，∴，
∵>0，由得，，         11分
由①、②得，，     13分
兩式相減得，， ∴，
又，得，
∴數列的通項公式是．  16分和公式與通項公式；（3）等差數列的前和公式與通項公式．