Question

(08年四川卷理)設數列滿足：．

（Ⅰ）當時，求證：是等比數列；

（Ⅱ）求通項公式．

Answer 1

解析：由題意，在中，令，得，．

　　　由

　　　得

　　　兩式相減得：

　　　即　　　…………①

（Ⅰ）當時，由①知，

　　　于是

      又，所以是首項為1，公比為2的等比數列．

（Ⅰ）變：當時，求的通項公式．解法如下：

解：當時，由①知，

兩邊同時除以得

　　　　　　 ∴是等差數列，公差為，首項為

　　　　　　∴

∴（∴，∴是等比數列，首項為1，公比為2）

（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知，，即

當時，由①：

　　　兩邊同時除以得

可設　…………②

展開②得，與比較，

得，∴．

∴

∴是等比數列，公比為，首項為

∴

∴

∴

點評：這是第一道考查＂會不會＂的問題．如若不會，對不起，請先繞道走．對大多數考生而言，此題是一道攔路虎．可能比壓軸題還讓人頭痛．原因是兩個小題分別考到了兩種重要的遞推方法．遞推數列中對遞推方法的考查，有30年歷史了，現在只是陳題翻新而已．不過此題對考生有不公平之嫌．大中城市參加過競賽培訓的優生占便宜了．解題有套方為高啊．