Question

設圓滿足:

①截y軸所得弦長為2;

②被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為3∶1.

在滿足條件①②的所有圓中,求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程.

Answer 1

思路分析:可設所求圓的標準方程為(x-a)²+(y-b)²=r²,它有三個待定系數a、b、r.將條件②等價轉化為所截圓弧所對的圓心角的度數為90°,進而可求出r與b的關系.將條件①等價轉化為r與a的關系.最后利用算術平均值不等式或方程有實數解的條件:判別式不小于0等方法求出a、b、r.

解法一:設圓的圓心坐標為P(a,b),半徑為r,

則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|.

由題設知圓P截x軸所得劣弧的圓心角為90°,

于是圓P截x軸所得弦長為r,

故r²=2b².

又圓P截y軸所得的弦長為2,

所以有r²=a²+1,

從而得2b²-a²=1.

點P(a,b)到直線x-2y=0的距離為d=.

所以5d²=|a-2b|²=a²+4b²-4ab=2a²+2b²-4ab+1=2(a-b)²+1≥1,

當且僅當a=b時,上式取等號,

此時5d²=1,從而d取得最小值.

由此有

解此方程組得

由r²=2b²,知r²=2.

故所求圓的方程是(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2.

解法二:同解法一得d=,

故a-2b=±d.

于是a²=4b²±bd+5d²,①

將a²=2b²-1代入①式,

整理得2b²±db+5d²+1=0.②

把它看作關于b的一元二次方程,由于方程有實根,

故判別式非負,

于是Δ=8(5d²-1)≥0,

解得5d²≥1.

所以5d²有最小值1,從而d有最小值.

將其代入②式得2b²±4b+2=0,

解得b=±1.

將b=±1代入r²=2b²,得r²=2.

又由r²=a²+1,得a=±1.

綜上,解得a=±1,b=±1,r²=2.

由|a-2b|=1,知a、b同號.

于是,所求圓的方程是(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2.

  綠色通道:解題的過程就是實現條件向結論轉化的過程.對于直線與圓,需要綜合平面幾何、解析幾何、代數知識,將條件轉化成熟悉的形式,以便用常規的解題思路求解.