Question

（10分）已知數列中，，，其前項和
滿足．
（Ⅰ）求證：數列為等差數列，并求的通項公式；
（Ⅱ）設為數列的前項和，求
（Ⅲ）若對一切恒成立，求實數的最小值.

Answer 1

解：（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ）的最小值為

本試題主要是考查了數列的通項公式的求解和前n項和的求解，以及不等式的恒成立問題的運用。
（1）由已知， （，），且
數列是以為首項，公差為1的等差數列．∴
（2）因為
利用裂項求和得到前n項和的結論。
（3），∴≤ 
∴≥ 
運用分離參數的思想求解其范圍。
解：（Ⅰ）由已知， （，），且
數列是以為首項，公差為1的等差數列．∴…………3分
（Ⅱ）
 …………6分
（Ⅲ），∴≤ 
∴≥ 
又≤ ，（也可以利用函數的單調性解答）
∴的最小值為               …………………………………10分