Question

如圖，從雙曲線

x2

9

-

y2

25

=1的左焦點F₁引圓x²+y²=9的切線，切點為T，延長F₁T交雙曲線右支于P點．設M為線段F₁P的中點，O為坐標原點，則|F₁t|=

 

；|MO|-|MT|=

 

．

Answer 1

分析：先從雙曲線

x2

9

-

y2

25

=1得：a=3，b=5．連OT，則OT⊥F₁T，在直角三角形OTF₁中，|F₁T|=b．連PF₂，M為線段F₁P的中點，O為坐標原點得出|MO|-|MT|=

1

2

|PF₂|-（

1

2

|PF₁|-|F₁T|），最后結合雙曲線的定義即可得出答案．

解答：解：從雙曲線

x2

9

-

y2

25

=1得：a=3，b=5．
連OT，則OT⊥F₁T，
在直角三角形OTF₁中，|F₁T|=

OF 1 2 -OT 2

=

c 2-a 2

=b=5．
連PF₂，M為線段F₁P的中點，O為坐標原點
∴OM=

1

2

PF₂，
∴|MO|-|MT|=

1

2

|PF₂|-（

1

2

|PF₁|-|F₁T|）=

1

2

（|PF₂|-|PF₁|）+5=5-a=2．
故答案為：5，2

點評：本題主要考查橢圓的定義及三角形中位線和直線與圓相切時應用勾股定理．解答的關鍵是熟悉雙曲線的定義的應用，直線與圓的位置關系以及三角形中的有關結論．