Question

已知集合A是函數f(x)=log

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2

(x-1)的定義域．
（1）求集合A，并求出滿足不等式log

1

2

(x-1)＞1的x的取值范圍；
（2）若集合B是函數g（x）=2^x，x∈[-1，2]的值域，求出集合B，并求出AUB．

Answer 1

分析：（1）通過對數的真數大于0即可求出函數的定義域，得到集合A，利用對數函數的運算性質化簡不等式log

1

2

(x-1)＞1，然后求解的x的取值范圍；
（2）利用指數函數的單調性，求出函數g（x）=2^x，x∈[-1，2]的值域，得到集合B，然后求出AUB．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）∵函數f(x)=log

1

2

(x-1)有意義的條件是x-1＞0，得x＞1，----（2分）
故函數f(x)=log

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2

(x-1)的定義域是{x|x＞1}，
即A={x|x＞1}．----（3分）
∵log

1

2

1

2

=1，∴原不等式變形為log

1

2

(x-1)＞log

1

2

1

2

．----（4分）
又∵函數y=log

1

2

x是單調減函數，
∴x-1＜

1

2

，得x＜

3

2

．--（5分）
又因為x＞1，
∴所求x的取值范圍是1＜x＜

3

2

----（6分）
（2）∵函數g（x）=2^x在區間[-1，2]上是單調增函數，
∴g（x）=g（-1）=2^-1=

1

2

，----（7分）
g_max（x）=g（2）=2²=4，----（8分）
故函數g（x）=2^x的值域是{y|

1

2

≤y≤4}，----（9分）
即B={y|

1

2

≤y≤4}．----（10分）
∴AUB={x|x≥

1

2

}．----（12分）

點評：不考查指數函數與對數函數的單調性的應用，考查函數的定義域，集合的并集的求法，考查計算能力．