Question

(華南師大附中模擬)設函數y=f(x)是定義在R上的函數，并且滿足下面三個條件：

①對任意正數x、y，都有f(xy)=f(x)＋f(y)；

②當x＞1時，f(x)＜0；

③f(3)=－1．

(1)求f(1)、的值；

(2)如果不等式f(x)＋f(2－x)＜2成立，求x的取值范圍；

(3)如果存在正數k，使不等式f(kx)＋f(2－x)＜2有解，求正數k的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)令x=y=1易得f(1)=0． 而f(9)=f(3)＋f(3)=－1－1=－2， 且， 得． (2)由條件①及(1)結果得：，其中0＜x＜2， 由函數f(x)在R上的遞減性，可得： 由此解得x的范圍是． (3)同上理，不等式f(kx)＋f(2－x)＜2可化為且0＜x＜2，可得，此不等式有解等價于，∵，故，即為所求范圍．