Question

（2007•青島一模）已知橢圓9x²+2y²=18上任意一點P，由P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在線段PQ上，且

PM

=2

MQ

，點M的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若過定點F（0，2）的直線l交曲線E于不同的兩點G，H（點G在點F，H之間），且滿足

FG

=

1

2

FH

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設點P（x₀，y₀）是橢圓上一點，則Q（x₀，0），M（x，y）．由已知

PM

=2

MQ

得：x₀=x，y₀=3y代入橢圓方程即可得到曲線E的方程．
（II）設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），當直線GH斜率存在時，設直線GH的斜率為k．把直線GH的方程y=kx+2與橢圓的方程聯立，得到根與系數的關系，再利用

FG

=

1

2

FH

，即可解出k．當直線GH斜率不存在時，不符合題意．

解答：解：（I）設點P（x₀，y₀）是橢圓上一點，則Q（x₀，0），M（x，y）
由已知

PM

=2

MQ

得：x₀=x，y₀=3y代入橢圓方程得9x²+18y²=18，
即x²+2y²=2為曲線E的方程．
（II）設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
當直線GH斜率存在時，設直線GH的斜率為k
則直線GH的方程為：y=kx+2，
代入x²+2y²=2，得：（

1

2

+k²）x²+4kx+3=0，
由△＞0，解得：k²＞

3

2

，x1+x2=

-4k

1 2 +k2

，x1x2=

3

1 2 +k2

，
∵

FG

=(x1，y1-2)，

FH

=(x2，y2-2)，又有

FG

=

1

2

FH

．
∴x1=

1

2

x2
．∴

x1+x2= -4k 1 2 +k2 x1x2= 3 1 2 +k2 x1= 1 2 x2

化為(

-8k

3(1+2k2)

)2=

3

1+2k2

，即10k²=27．
解得：k2=

27

10

＞

3

2

，
∴k=±

3 30

10

，
∴直線l的方程為：y=±

3 30

10

x+2，
當直線GH斜率不存在時，直線的l方程為x=0，
此時

FG

=

1

3

FH

與

FG

=

1

2

FH

矛盾不合題意．
∴所求直線l的方程為：y=±

3 30

10

x+2．

點評：熟練掌握直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量相等、分類討論思想方法等是解題的關鍵．