如圖，已知
是長軸為
的橢圓上三點，點
是長軸的一個頂點，
過橢圓中心
，且
.
(1)建立適當的坐標系，求橢圓方程；
(2)如果橢圓上兩點
使直線
與
軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，是否總存在實數
使
?請給出證明．
(1)
(2) 存在實數
使
證明：設直線
的方程為
，所以直線
的方程為
由橢圓方程與直線的方程聯立，消去
得
，所以
同理
又
，所以
，所以
，即存在實數使成立
【解析】
試題分析：(1)以
為原點，
所在的直線為
軸建立如圖所示的直角坐標系，則
，橢圓方程可設為
而為橢圓中心，由對稱性知
又
，所以
又
，所以
所以
為等腰直角三角形，所以點
的坐標為
將 代入橢圓方程得
則橢圓方程為
(2)由直線
與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，設直線的斜率為
，
則直線的斜率為
，直線的方程為，
直線的方程為
由橢圓方程與直線的方程聯立，消去得
①
因為
在橢圓上，所以
是方程①的一個根，于是
同理
這樣，
又，所以
即
.所以，即存在實數使.
考點：求橢圓方程及直線與橢圓相交韋達定理的應用
點評：本題對于高二文科學生有一定的難度，可區分出優秀學生與一般學生
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
（A）（幾何證明選講選做題）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D，則BD的長為=| 16 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
|
| π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
如圖，已知圓
與
軸負半軸的交點為
. 由點出發的射線
的斜率為
. 射線與圓
相交于另一點
（1）當
時，試用表示點
的坐標；
（2）當時，求證：“射線的斜率為有理數”是“點為單位圓上的有理點”的充要條件；（說明：坐標平面上，橫、縱坐標都為有理數的點為有理點.我們知道，一個有理數可以表示為
，其中
、
均為整數且、互質）
（3）定義：實半軸長
、虛半軸長
和半焦距
都是正整數的雙曲線為“整勾股雙曲線”.
當為有理數且
時，試證明：一定能構造偶數個“整勾股雙曲線”(規定：實軸長和虛軸長都對應相等的雙曲線為同一個雙曲線)，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點的橫坐標、縱坐標和半徑
的數值構成. 說明你的理由并請嘗試給出構造方法.
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科目：高中數學 來源： 題型：
已知
是長軸為4的橢圓上的三點，點
是長軸的一個頂點，
過橢圓中心
（如圖），且
，
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如果橢圓上的兩點
，使
的平分線垂直于
，是否總存在實數
，使
。請給出證明。
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年廣東省實驗中學高二（上）期末數學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題
，O為原點，點M是橢圓右準線上的動點，以OM為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓交于P、Q兩點，直線PQ與橢圓相交于A、B兩點，則|AB|的取值范圍是 ．
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